1698. Окружность, построенная на стороне треугольника как на диаметре, проходит через середину другой стороны. Докажите, что треугольник равнобедренный.
Указание. Если высота треугольника является также медианой, то треугольник равнобедренный.
Решение. Пусть окружность, построенная на стороне AB
треугольника ABC
, пересекает сторону AC
в её середине M
. Поскольку точка M
лежит на окружности с диаметром AB
, то \angle AMB=90^{\circ}
. Поэтому BM
— высота и медиана треугольника ABC
. Следовательно, треугольник ABC
— равнобедренный.