16980. Решите систему уравнений.
\syst{\sqrt{(x-2)^{2}+(y-4)^{2}}+\sqrt{(x-5)^{2}+(y-8)^{2}}=5\\3xy-10y=3.\\}
Ответ. x=\frac{7}{2}
, y=6
.
Решение. Рассмотрим прямоугольную систему координат и точки A(2;4)
, B(5;8)
и M(x;y)
. Тогда
AB=\sqrt{(5-2)^{2}+(8-4)^{2}}=\sqrt{9+16}=5,
MA=\sqrt{(x-2)^{2}+(y-4)^{2}},~MB=\sqrt{(x-5)^{2}+(y-8)^{2}}.
Из первого уравнения системы получим, что MA+MB=5
. Значит, точка M
лежит на отрезке AB
.
Уравнение прямой AB
имеет вид
y-4=\frac{8-4}{5-2}(x-2)~\Leftrightarrow~y-4=\frac{4}{3}(x-2)~\Leftrightarrow~4x-3y+4=0.
поэтому решения исходной системы следует искать среди решений системы
\syst{\sqrt{(x-2)^{2}+(y-4)^{2}}+\sqrt{(x-5)^{2}+(y-8)^{2}}=5\\y-4=\frac{4}{3}(x-2)\\}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~\syst{\sqrt{(x-2)^{2}+\left(\frac{4}{3}(x-2)\right)^{2}}+\sqrt{(x-5)^{2}+(y-4-4)^{2}}=5\\y-4=\frac{4}{3}(x-2)\\}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~\syst{\sqrt{(x-2)^{2}+\frac{16}{9}(x-2)^{2}}+\sqrt{(x-5)^{2}+(\frac{4}{3}(x-2)-4)^{2}}=5\\y-4=\frac{4}{3}(x-2)\\}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~\syst{\frac{5}{3}\sqrt{(x-2)^{2}}+\frac{5}{3}\sqrt{(x-5)^{2}}=5\\y-4=\frac{4}{3}(x-2)\\}~\Leftrightarrow~\syst{\frac{5}{3}|x-2|+\frac{5}{3}|x-5|=5\\y-4=\frac{4}{3}(x-2)\\}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~\syst{|x-2|+|x-5|=3\\y-4=\frac{4}{3}(x-2)\\}~\Leftrightarrow~\syst{2\leqslant x\leqslant5\\y=\frac{4}{3}x+\frac{4}{3}.\\}
Таким образом, исходная система равносильна системе
\Leftrightarrow~\syst{2\leqslant x\leqslant5\\4x-3y+4=0\\3xy-10y=3\\}~\Leftrightarrow~\syst{2\leqslant x\leqslant5\\y=\frac{4}{3}x+\frac{4}{3}\\y=\frac{3}{3x-10}\\}~\Leftrightarrow~\syst{2\leqslant x\leqslant5\\y=\frac{4}{3}x+\frac{4}{3}\\y=\frac{3}{3x-10}\\}~\Leftrightarrow
\syst{2\leqslant x\leqslant5\\y=\frac{4}{3}x+\frac{4}{3}\\\frac{3}{3x-10}=\frac{4}{3}x+\frac{4}{3}\\}~\Leftrightarrow~\syst{2\leqslant x\leqslant5\\y=\frac{4}{3}x+\frac{4}{3}\\12x^{2}-28x-40=0}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~\syst{2\leqslant x\leqslant5\\y=\frac{4}{3}x+\frac{4}{3}\\12\left(x-\frac{7}{2}\right)\left(x+\frac{7}{6}\right)=0}~\Leftrightarrow~\syst{x=\frac{7}{2}\\y=6.\\}
Источник: Блинков А. Д. Геометрия в негеометрических задачах. — М.: МЦНМО, 2016. — (Школьные математические кружки; 15). — N Д6, с. 90