16984. Найдите наименьшее значение выражения
\sqrt{x^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x-4)^{2}+(y-3){2}},
если x-y-3=0
.
Ответ. \sqrt{37}
.
Решение. Рассмотрим на координатной плоскости xOy
точки M(x;y)
и A(4;3)
. Поскольку
\sqrt{x^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x-4)^{2}+(y-3){2}}=MO+MA,
то на прямой y=x-3
нужно найти положение точки M
, при котором эта сумма будет наименьшей. Для этого соединим точку A
с симметричной ей относительно данной прямой точкой A'(6;1)
. найдём координаты точки M_{0}
пересечения прямых y=x-3
и AA'
. Тогда
MO+MA=MO+MA'\geqslant OA'=\sqrt{(6-0)^{2}+(1-0)^{2}}=\sqrt{36+1}=\sqrt{37}.
Примечание. Решив систему
\syst{y=x-3\\y=\frac{1}{3}x,\\}
получим, что искомое наименьшее положение точки M
достигается в точке с координатами \left(\frac{18}{5};\frac{3}{4}\right)
.
Источник: Блинков А. Д. Геометрия в негеометрических задачах. — М.: МЦНМО, 2016. — (Школьные математические кружки; 15). — N Д9, с. 90