16985. Найдите наименьшее значение выражения
\sqrt{1+a^{2}}+\sqrt{1+b^{2}},
если a\geqslant0
, b\geqslant0
и a+b=1
.
Ответ. \sqrt{5}
.
Решение. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC
с катетами BC=1
и AC=b
и прямоугольный треугольник AED
с катетами AD=1
и DE=a
, расположенные так, как показано на рисунке. Тогда
AE=\sqrt{1+a^{2}},~AB=\sqrt{1+b^{2}}.
Сумма этих отрезков наименьшая, если точка A
лежит на отрезке BE
. Тогда искомое значение равно
\sqrt{EF^{2}+BF^{2}}=\sqrt{(a+b)^{2}+2^{2}}=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}.
Примечание. Если точка A
лежит на отрезке BE
, то треугольники AED
и BAC
подобны, поэтому
\frac{ED}{AC}=\frac{AD}{BC}~\Rightarrow~ED=AD~\Rightarrow~a=b,
а так как a+b=1
, то a=b=\frac{1}{2}
. Следовательно, наименьшее значение достигается при a=b=1
.
Источник: Блинков А. Д. Геометрия в негеометрических задачах. — М.: МЦНМО, 2016. — (Школьные математические кружки; 15). — N Д18, с. 91