16987. Для положительных чисел a
, b
и c
докажите, что
\sqrt{a^{2}-c^{2}}+\sqrt{b^{2}-c^{2}}\leqslant\frac{ab}{c}.
Решение. Очевидно, что для c=a
или c=b
данное неравенство верно.
Пусть c\lt a
и c\lt b
. Рассмотрим прямоугольные треугольники ABD
и ACD
с гипотенузами AB=a
и AC=b
соответственно и общим катетом AD=c
, причём точки B
и C
лежат по разные стороны от прямой AD
(см. рис.). Тогда
\sqrt{a^{2}-c^{2}}+\sqrt{b^{2}-c^{2}}=BD+CD=BC=\frac{2S_{\triangle ABC}}{AD}=\frac{ab\sin\angle BAC}{c}\leqslant\frac{ab}{c}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Блинков А. Д. Геометрия в негеометрических задачах. — М.: МЦНМО, 2016. — (Школьные математические кружки; 15). — N Д20, с. 91