16990. Найдите наименьшее значение функции
y=\sqrt{x^{2}-2x+4}+\sqrt{x^{2}-x\sqrt{3}+1}.
Ответ. \sqrt{5}
.
Решение. Заметим, что если x\gt0
, то
y(-x)=\sqrt{(-x)^{2}+2x+4}+\sqrt{((-x)^{2}+x\sqrt{3}+1}=
=\sqrt{x^{2}+2x+4}+\sqrt{x^{2}+x\sqrt{3}+1}\gt\sqrt{x^{2}-2x+4}+\sqrt{x^{2}-x\sqrt{3}+1}=y(x),
поэтому достаточно рассмотреть положительные значения x
.
Далее получаем
y=\sqrt{x^{2}-2x+4}+\sqrt{x^{2}-x\sqrt{3}+1}=
=\sqrt{x^{2}-2\cdot x\cdot2\cdot\cos60^{\circ}+2^{2}}+\sqrt{x^{2}-2\cdot x\cdot1\cdot\cos30^{\circ}+1^{2}}.
Рассмотрим на плоскости треугольники ACD
и BCD
с общей стороной CD
и AC=2
, \angle ACD=60^{\circ}
, BC=1
, \angle BCD=30^{\circ}
и вершинами A
и B
, лежащими по разные стороны от прямой CD
. Тогда по теореме косинусов
y=AD+BD.
Треугольник ACB
прямоугольный с прямым углом при вершине C
, поэтому
AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}.
Из неравенства
AD+BD\geqslant AB
получаем, что значение y
будет наименьшим, если точка D
лежит на отрезке. Тогда это наименьшее значение равно AB=\sqrt{5}
.
Из геометрических соображений следует, что такая ситуация возможна.
Источник: Блинков А. Д. Геометрия в негеометрических задачах. — М.: МЦНМО, 2016. — (Школьные математические кружки; 15). — № 4.1, с. 40