16991. Среди всех решений (x,y,z,v)
системы
\syst{x^{2}+y^{2}=4\\z^{2}+v^{2}=9\\xv+yz\geqslant6\\}
найдите такие, для которых выражение x+z
принимает наибольшее значение.
Ответ. (\frac{4}{\sqrt{13}};\frac{6}{\sqrt{13}};\frac{9}{\sqrt{13}};\frac{6}{\sqrt{13}})
.
Решение. Рассмотрим прямоугольную систему координат xOy
и векторы \overrightarrow{a}=(x;y)
и \overrightarrow{b}=(v;z)
. Тогда
|\overrightarrow{a}|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{4}=2,~|\overrightarrow{b}|=\sqrt{v^{2}+z^{2}}=\sqrt{9}=3,
\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=xv+yz=6.
Пусть угол между векторами \overrightarrow{a}
и \overrightarrow{b}
равен \varphi
(0^{\circ}\leqslant\varphi\lt360^{\circ}
). Тогда
\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}|\cdot|\overrightarrow{b}|\cos\varphi.
Значит,
6\leqslant xv+yz=|\overrightarrow{a}|\cdot|\overrightarrow{b}|\cos\varphi\leqslant|\overrightarrow{a}|\cdot|\overrightarrow{b}|=2\cdot3=6.
Следовательно,
\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}|\cdot|\overrightarrow{b}|=6,
причём равенство достигается в случае, когда \cos\varphi=1
, т. е. когда \varphi=0^{\circ}
(векторы \overrightarrow{a}
и \overrightarrow{b}
сонаправлены).
Поскольку
x=|\overrightarrow{a}|\cos\alpha=2\cos\alpha~\mbox{и}~z=|\overrightarrow{b}|\sin\alpha=3\sin\alpha
(0^{\circ}\leqslant\alpha\lt360^{\circ}
), то
x+z=2\cos\alpha+3\sin\alpha=\sqrt{2^{2}+3^{2}}\left(\frac{2}{\sqrt{2^{2}+3^{2}}}\cos\alpha+\frac{3}{\sqrt{2^{2}+3^{2}}}\sin\alpha\right)=
=\sqrt{13}\left(\frac{2}{\sqrt{13}}\cos\alpha+\frac{3}{\sqrt{13}}\sin\alpha\right)=\sqrt{13}\left(\cos\theta\cos\alpha+\sin\theta\sin\alpha\right)=
\sqrt{13}\left(\cos\theta\cos\alpha+\sin\theta\sin\alpha\right)=\sqrt{13}\cos(\theta-\alpha)\leqslant\sqrt{13},
где \theta=\arccos\frac{2}{\sqrt{3}}
, причём равенство достигается в случае, когда \cos(\theta-\alpha)=1
, т. е. когда \alpha=\theta
.
При этом
x=2\cos\alpha=2\cdot\cos\arccos\frac{2}{\sqrt{3}}=2\cdot\frac{2}{\sqrt{13}}=\frac{4}{\sqrt{13}},
x=2\sin\alpha=2\cdot\sin\arccos\frac{2}{\sqrt{3}}=2\cdot\frac{3}{\sqrt{13}}=\frac{6}{\sqrt{13}},
z=3\sin\alpha=3\cdot\sin\arccos\frac{3}{\sqrt{3}}=3\cdot\frac{3}{\sqrt{13}}=\frac{9}{\sqrt{13}},
v=3\cos\alpha=3\cdot\cos\arccos\frac{2}{\sqrt{3}}=3\cdot\frac{2}{\sqrt{13}}=\frac{6}{\sqrt{13}}.
Источник: Вступительный экзамен на экономический факультет МГУ. — 1985, № 5, вариант 1