16993. Решите уравнение
x\sqrt{1+x}+\sqrt{3-x}=2\sqrt{1+x^{2}}.
Ответ. x=1
или x=1+\sqrt{2}
.
Решение. Заметим, что
-1\leqslant x\leqslant3~\mbox{и}~x\sqrt{1+x}+\sqrt{3-x}=2\sqrt{1+x^{2}}\geqslant2.
Рассмотрим прямоугольную систему координат и векторы
\overrightarrow{m}=(x;1)~\mbox{и}~\overrightarrow{m}=(\sqrt{1+x};\sqrt{3-x}).
Тогда
|\overrightarrow{m}|=\sqrt{1+x^{2}},~|\overrightarrow{n}|=\sqrt{(\sqrt{1+x})^{2}+(\sqrt{3-x})^{2}}=2.
Значит, если угол между векторами \overrightarrow{m}
и \overrightarrow{n}
равен \alpha
, то
x\sqrt{1+x}+\sqrt{3-x}=\overrightarrow{m}\cdot\overrightarrow{n}=|\overrightarrow{m}|\cdot|\overrightarrow{n}|\cdot\cos\alpha\leqslant|\overrightarrow{m}|\cdot|\overrightarrow{n}|=2\sqrt{1+x^{2}}\leqslant2,
Следовательно,
x\sqrt{1+x}+\sqrt{3-x}=2,
причём равенство достигается в случае, когда \cos\alpha=1
, т. е. \alpha=0^{\circ}
. Это означает, что векторы \overrightarrow{m}
и \overrightarrow{n}
сонаправлены. Тогда их координаты соответственно пропорциональны и их отношение положительно, т. е.
\syst{\frac{x}{1}=\frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{3-x}}\\x\gt0\\}~\Leftrightarrow~\syst{x\sqrt{3-x}=\sqrt{1+x}\\0\lt x\lt3\\}~\Leftrightarrow~\syst{x^{3}-3x^{2}+x+1=0\\0\lt x\lt3\\}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~\syst{(x-1)(x^{2}-2x-1)=0\1\lt x\lt3\\}
Следовательно, x=1
или x=1+\sqrt{2}
.