16994. Найдите наименьшее значение параметра a
, для которого уравнение
\sqrt{x^{2}-6x+10}+\sqrt{x^{2}-4x+8}=a
имеет хотя бы один корень.
Ответ. \sqrt{10}
.
Решение. Задача сводится к нахождению наименьшего значения функции
y=f(x)=\sqrt{x^{2}-6x+10}+\sqrt{x^{2}-4x+8}=\sqrt{(x-3)^{2}+1}+\sqrt{(x-2)^{2}-4x+4}.
Рассмотрим прямоугольную систему координат и векторы \overrightarrow{p}=(3-x;1)
и \overrightarrow{q}=(x-2;2)
. Тогда
|\overrightarrow{p}|=\sqrt{(x-3)^{2}+1},~|\overrightarrow{q}|=\sqrt{(x-2)^{2}+4},
\overrightarrow{p}+\overrightarrow{q}=((3-x)+(x-2);1+2)=(1;3),~|\overrightarrow{p}+\overrightarrow{q}|=\sqrt{1^{2}+3^{2}}=\sqrt{10}.
Значит,
|\overrightarrow{p}|+|\overrightarrow{q}|\geqslant|\overrightarrow{p}+\overrightarrow{q}|~\Rightarrow~y\geqslant\sqrt{10}.
Последнее неравенство обращается в равенство в том и только в том случае, когда векторы \overrightarrow{p}
и \overrightarrow{q}
сонаправлены, а это означает, что соответствующие координаты этих векторов пропорциональны и их отношение положительно, т. е.
\frac{3-x}{x-2}=\frac{1}{2}~\Leftrightarrow~x=\frac{8}{3}.
(заметим, что при x=2
векторы \overrightarrow{p}
и \overrightarrow{q}
неколлинеарны, поэтому деление на x-2
возможно).
Таким образом, наименьшее значение функции y=f(x)
равно \sqrt{10}
и достигается при x=\frac{8}{3}
. Следовательно, наименьшее значение a
, для которого исходное уравнение имеет решение, равно \sqrt{10}
.
Источник: Шестаков С. А. ЕГЭ 2022. Математика. Задачи с параметром. — М.: МЦНМО, 2022. — пример 1, с. 252