16995. Найдите наименьшее значение параметра a
, для которого уравнение
\sqrt{(x-1)^{2}+(x-6)^{2}}+\sqrt{(x-4)^{2}+(x-2)^{2}}=a
имеет хотя бы один корень.
Ответ. 5.
Решение. Задача сводится к нахождению наименьшего значения функции
y=f(x)=\sqrt{(x-1)^{2}+(x-6)^{2}}+\sqrt{(x-4)^{2}+(x-2)^{2}}
Рассмотрим прямоугольную систему координат и векторы \overrightarrow{p}=(x-1;6-x)
и \overrightarrow{q}=(4-x;x-2)
. Тогда
f(x)=|\overrightarrow{p}|+|\overrightarrow{q}|,
\overrightarrow{p}+\overrightarrow{q}=((x-1)+(4-x);((6-x+x-2))=(3;4)~\Rightarrow~|\overrightarrow{p}+\overrightarrow{q}|=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5.
Значит,
f(x)=|\overrightarrow{p}|+|\overrightarrow{q}|\geqslant|\overrightarrow{p}+\overrightarrow{q}|=5.
Последнее неравенство обращается в равенство в том и только в том случае, когда векторы \overrightarrow{p}
и \overrightarrow{q}
сонаправлены, а это означает, что соответствующие координаты этих векторов пропорциональны и их отношение положительно, т. е.. Значит,
\Leftrightarrow~\syst{\frac{x-1}{4-x}=\frac{6-x}{x-2}\\\frac{x-1}{4-x}\gt0\\}~\Leftrightarrow~x=\frac{22}{7}.
(заметим, что при x=2
или x=4
векторы \overrightarrow{p}
и \overrightarrow{q}
неколлинеарны, поэтому деление на x-2
и x-4
возможно).
Таким образом, наименьшее значение функции y=f(x)
равно 5 и достигается при x=\frac{22}{7}
. Следовательно, наименьшее значение a
, для которого исходное уравнение имеет решение, равно 5.
Источник: Шестаков С. А. ЕГЭ 2022. Математика. Задачи с параметром. — М.: МЦНМО, 2022. — пример 2, с. 253