16996. Решите неравенство
\sqrt{(x-10)^{2}+9}+\sqrt{(x-1)^{2}-1}\leqslant15.
Ответ. x=\frac{11}{2}
.
Решение. Рассмотрим прямоугольную систему координат и векторы \overrightarrow{a}=(10-x;3)
и \overrightarrow{b}=(x-1;9)
. Тогда
|\overrightarrow{a}|=\sqrt{(x-10)^{2}+9},~|\overrightarrow{b}|=\sqrt{(x-1)^{2}+9},
\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=((10-x)+(x-1);3+9)=(9;12),~|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=\sqrt{9^{2}+12^{2}}=15.
а так как по условию
|\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow{b}|\leqslant15,
и при этом по неравенству треугольника
|\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow{b}|\geqslant|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=15,
то
|\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow{b}|=15.
Неравенство
|\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow{b}|\geqslant|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|
обращается в равенство в том и только в том случае, когда векторы \overrightarrow{a}
и \overrightarrow{b}
сонаправлены, а это означает, что соответствующие координаты этих векторов пропорциональны и их отношение положительно, т. е.
\frac{10-x}{x-1}=\frac{3}{9}~\Leftrightarrow~x=\frac{11}{2}.
(заметим, что при x=1
векторы \overrightarrow{a}
и \overrightarrow{b}
неколлинеарны, поэтому деление на x-1
возможно).
Следовательно, исходное неравенство имеет единственное решение x=\frac{11}{2}
.