16997. Найдите наибольшее значение параметра a
, для которого уравнение
x(\sqrt{1-9x^{2}}+3\sqrt{4-x^{2}})=a
имеет хотя бы один корень.
Ответ. a=2
.
Решение. Задача сводится к нахождению наибольшего значения функции
y=f(x)=x(\sqrt{1-9x^{2}}+3\sqrt{4-x^{2}})=x\sqrt{1-9x^{2}}+\sqrt{4-x^{2}}\cdot3x,
определённой на отрезке \left[-\frac{1}{3};\frac{1}{3}]\right)
.
Рассмотрим прямоугольную систему координат и векторы \overrightarrow{a}=(x;\sqrt{4-x^{2}})
и \overrightarrow{b}=(\sqrt{1-9x^{2}};3x)
. Тогда
|\overrightarrow{a}|=\sqrt{x^{2}+(4-x^{2})}=2,~|\overrightarrow{b}|=\sqrt{(1-9x^{2})+9x^{2}}=1,
\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=((10-x)+(x-1);3+9)=(9;12),~|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=\sqrt{9^{2}+12^{2}}=15,
\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=x\sqrt{1-9x^{2}}+\sqrt{4-x^{2}}\cdot3x.
Пусть угол между векторами \overrightarrow{a}
и \overrightarrow{b}
равен \alpha
. Тогда
\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}|\cdot|\overrightarrow{b}|\cdot\cos\alpha\leqslant|\overrightarrow{a}|\cdot|\overrightarrow{b}|=1\cdot2=2,
причём равенство достигается тогда и только тогда, когда \cos\alpha=1
, т. е. когда векторы \overrightarrow{a}
и \overrightarrow{b}
сонаправлены, т. е. когда их соответствующие координаты пропорциональны и их отношение положительно. Значит, исходная задача равносильна системе
\syst{\frac{\sqrt{1-9x^{2}}}{x}=\frac{3x}{\sqrt{4-x^{2}}}\\0\lt x\lt3,}
из которой находим, что x=\frac{2}{\sqrt{37}}
(заметим, что при x=0
векторы \overrightarrow{a}
и \overrightarrow{b}
неколлинеарны).
Таким образом, уравнение из условия задачи имеет хотя бы один корень, если a=2
.