16998. Найдите все значения параметра a
, при каждом из которых система
\syst{x^{2}+(y-4)^{2}=16\\\sqrt{x^{2}+(y-12)^{2}}+\sqrt{(x-a)^{2}+y^{2}}=\sqrt{a^{2}+144}\\}
имеет единственное решение.
Ответ. a=\pm4\sqrt{3}
.
Решение. Рассмотрим прямоугольную систему координат xOy
. Тогда первое уравнение системы — окружность с центром в точке C(0;4)
и радиусом 4. Левая часть второго уравнения — сумма расстояний от точки M(x;y)
до точек A(0;12)
и B(a;0)
. В то же время
AB=\sqrt{(a-0)^{2}+(0-12)^{2}}=\sqrt{a^{2}+144}
— правая часть второго уравнения. Значит, MA+MB=AB
, поэтому точка M
лежит на отрезке AB
.
Таким образом, нужно найти все A
, для которых окружность x^{2}+(y-4)^{2}=16
и прямая AB
на отрезке AB
единственную общую точку M
, т. е. прямая AB
— касательная к этой окружности, причём точка касания M
лежит на отрезке AB
(см. рис.).
Заметим, что этому условию удовлетворяют две проходящие через точку A
прямые, угловые коэффициенты которых противоположны. Радиус CM=4
окружности, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, а так как
AC=OM-OC=12-4=8=2CM,
то \angle BAO=\angle CAM=30^{\circ}
. Из прямоугольного треугольника AOB
находим, что
|a|=OB=AO\tg\angle BAO=12\tg30^{\circ}=12\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3}.
Следовательно, a=\pm4\sqrt{3}
.
Источник: Шестаков С. А. ЕГЭ 2022. Математика. Задачи с параметром. — М.: МЦНМО, 2022. — пример 4, с. 210