17002. Докажите, что суммы взятых через один углов вписанного шестиугольника равны между собой.
Решение. Пусть A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}A_{5}A_{6}
— вписанный шестиугольник, а угловые величины меньших дуг A_{1}A_{2}
, A_{2}A_{3}
, A_{3}A_{4}
, A_{1}A_{2}
, A_{4}A_{4}
, A_{6}A_{1}
равны 2x^{2}
, 2x^{2}
, 2x^{3}
, 2x^{4}
, 2x^{5}
, 2x^{6}
соответственно. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, поэтому
\angle A_{1}=x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5},~\angle A_{3}=x_{1}+x_{4}+x_{5}+x_{6},~\angle A_{5}=x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{6}.
Сложив эти три равенства, получим
\angle A_{1}+\angle A_{3}+\angle A_{5}=2x_{1}+2x_{2}+2x_{2}+2x_{3}+2x_{5}+2x_{6}=360^{\circ},
а так как сумма углов выпуклого шестиугольника равна 180^{\circ}(6-2)=720^{\circ}
, то
\angle A_{2}+\angle A_{4}+\angle A_{6}=720^{\circ}-\angle A_{1}+\angle A_{3}+\angle A_{5}=720^{\circ}-360^{\circ}=360^{\circ}.
Отсюда следует утверждение задачи.
Примечание. 1. Обратное утверждение неверно. Например, если провести прямую, параллельную стороне A_{1}A_{2}
вписанного шестиугольника A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}A_{5}A_{4}
и пересекающую стороны A_{1}A_{6}
и A_{2}A_{3}
, то она отсечёт от шестиугольника трапецию и останется шестиугольник с теми же углами, как у исходного, но две его вершины не лежат на окружности, проходящей через точки A_{3}
, A_{4}
, A_{5}
и A_{6}
; вписать его в окружность нельзя.
2. См. также: Л.М.Лоповок «Вписанный шестиугольник», Квант, 1973, N1, с.18-22.
Источник: Журнал «Квант». — 1973, № 1, с. 18