17005. В четырёхугольнике ABCD
стороны AB
, BC
и CD
равны. Найдите углы A
и D
четырёхугольника, если \angle B=108^{\circ}
и \angle C=48^{\circ}
.
Ответ. \angle A=54^{\circ}
, \angle D=150^{\circ}
.
Решение. Первый способ. На стороне CD
вне данного четырёхугольника построим равносторонний треугольник CDE
(рис. 1). Пусть прямые AB
и EC
пересекаются в точке X
. Поскольку
\angle BCX=180^{\circ}-\angle BCE=180^{\circ}-(\angle BCD+\angle DCE)=180^{\circ}-(48^{\circ}+60^{\circ})=72^{\circ}=\angle CBX,
треугольник BCX
равнобедренный (BX=CX
) с углами при основании BC
, равными
180^{\circ}-108^{\circ}=72^{\circ},
и углом при вершине X
, равным 36^{\circ}
. Поскольку
AX=AB+BX=EC+CX=EX,
треугольник AEX
тоже равнобедренный с тем же углом 36^{\circ}
при вершине X
. Значит, углы при его основании AE
равны по 72^{\circ}
. Треугольник ABC
равнобедренный с основанием AC
, поэтому
\angle ACB=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle ABC)=\frac{1}{2}(180^{\circ}-48^{\circ})=36^{\circ}.
Значит,
\angle ACE=\angle BCE-\angle ACB=108^{\circ}-36^{\circ}=72^{\circ}=\angle AED,
поэтому треугольник ACE
равнобедренный, AC=AE
. При этом DC=DE
, следовательно, прямая AD
— серединный перпендикуляр к отрезку DE
, а луч AD
— биссектриса угла DAE
. Тогда
\angle DAC=\frac{1}{2}(180^{\circ}-2\cdot72{\circ})=36^{\circ}.
Таким образом,
\angle BAD=\angle BAC+\angle DAC=36^{\circ}+18^{\circ}=54^{\circ},
\angle ADC=360^{\circ}-(108^{\circ}+48^{\circ}+54^{\circ})=150^{\circ}.
Второй способ. Достроим данный четырёхугольник до правильного пятиугольника ABCST
(рис. 2). Углы правильного пятиугольника равны 108^{\circ}
, поэтому
\angle DCS=\angle BCS-\angle BCD=108^{\circ}-48^{\circ}=60^{\circ}.
Тогда равнобедренный треугольник CDS
(CD=CS
) — равносторонний, поэтому DC=DS
. Значит, точка D
лежит на серединном перпендикуляре к стороне CS
, т. е. на оси симметрии правильного пятиугольника ABCST
. Следовательно,
\angle BAD=\frac{1}{2}\angle BAT=\frac{1}{2}\cdot108^{\circ}=54^{\circ},
\angle ADC=180^{\circ}-\frac{1}{2}\angle CDS=108^{\circ}-30^{\circ}=150^{\circ}.
Примечание. См. статью Е.Бакаева «Четырёхугольник с тремя равными сторонами», Квант, 2024, N10, с.26-28.
Автор: Волчкевич М. А.
Источник: Журнал «Квант». — 2024, № 10, с. 26