17007. Из бумаги вырезан квадрат, сторона которого равна 1. Сделав не больше 20 сгибов, постройте отрезок длины \frac{1}{2024}
. Никаких инструментов нет, можно только сгибать бумагу по прямым и отмечать точки пересечения линий сгиба.
Решение. Пусть ABCD
— данный квадрат.
1—2. Дважды согнув квадрат по прямым, параллельным AD
, построим на сторонах AB
и CD
точки U
и V
соответственно, для которых AU=DV=\frac{1}{4}
3—7. Согнув квадрат пять раз по прямым, параллельным AB
, разделим сторону AD
и отрезок UV
на 32 равных части.
8. Возьмём точки S
и T
на AD
и T
на UV
, для которых SD=\frac{23}{32}
и TV=\frac{1}{32}
. Тогда, если T'
— проекция точки T
на AD
, то
ST'=SD-T'D=SD-TV=\frac{23}{32}-\frac{1}{32}=\frac{22}{32}.
Треугольник PVT
подобен треугольнику TT'A
с коэффициентом
\frac{TV}{ST'}=\frac{\frac{1}{32}}{\frac{22}{32}}=\frac{1}{22},
поэтому
VP=\frac{1}{22}\cdot TT'=\frac{11}{22}\cdot DV=\frac{11}{22}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{88}.
9. Аналогично, согнув квадрат по прямой S'T
, где DS'=\frac{24}{23}
, получим на стороне CD
точку Q
, для которой VQ=\frac{1}{92}
. Следовательно,
VQ=VP-VQ=\frac{1}{88}-\frac{1}{92}=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{22}-\frac{1}{23}\right)=\frac{1}{2024}.
Автор: Евдокимов М. А.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2024, финал, первый день, 8 класс, задача 4