17008. В четырёхугольнике ABCD
известно, что AB=BC=CD
, \angle A=70^{\circ}
и \angle B=100^{\circ}
. Чему могут быть равны углы C
и D
?
Ответ. \angle D=50^{\circ}
, C=140^{\circ}
или \angle D=130^{\circ}
, C=60^{\circ}
.
Решение. От луча BA
в полуплоскость, содержащую точку D
, отложим луч под углом 40^{\circ}
к BA
. Пусть он пересекает прямую AD
в точке E
. Тогда
\angle CBE=100^{\circ}-40^{\circ}=60^{\circ}.
Из треугольника ABE
получаем
\angle BEA=180^{\circ}-70^{\circ}-40^{\circ}=70^{\circ}=\angle BAE~\Rightarrow~BE=AB=BC.
Значит, равнобедренный треугольник BCE
— равносторонний. Тогда CE=BC=CD
, поэтому треугольник DCE
равнобедренный.
Пусть точка E
лежит на стороне AD
. Тогда
\angle ADC=\angle EDC=\angle DEC=180^{\circ}-\angle BEC-\angle BEA=180^{\circ}-60^{\circ}-70^{\circ}=50^{\circ},
\angle BCD=360^{\circ}-\angle ABC-\angle BAD-\angle ADC=360^{\circ}-100^{\circ}-70^{\circ}-50^{\circ}=140^{\circ}.
Пусть точка E
лежит на продолжении стороны AD
за точку D
. Тогда угол при основании DE
равнобедренного треугольника DCE
равен 70^{\circ}+60^{\circ}=130^{\circ}\gt90^{\circ}
, что невозможно. Очевидно, точка E
не может лежать на продолжении стороны AD
за точку A
.
Остаётся случай, когда точка E
совпадёт с D
. Тогда
\angle ADC=70^{\circ}+60^{\circ}=130^{\circ},~\angle BCD=60^{\circ}.
Примечание. См. статью Е.Бакаева «Четырёхугольник с тремя равными сторонами», Квант, 2024, N10, с.26-28.
Автор: Волчкевич М. А.
Источник: Журнал «Квант». — 2024, № 10, с. 26, задача 2