17012. Дан треугольник ABC
. Постройте точки K
и H
, лежащие соответственно на сторонах AB
и BC
, и для которых BK=KH=HC
.
Решение. Анализ. Обозначим \angle ABC=\beta
. Из равнобедренных треугольников BKH
и CKH
получаем, что
\angle KHB=\beta,~\angle HKC=\angle HCK=\frac{\beta}{2}
(угол KHB
, равный \beta
, — внешний угол равнобедренного треугольника CKH
).
Построение. Пусть дан треугольник ABC
. От луча CB
в полуплоскость, содержащую вершину A
, отложим луч под углом \frac{\beta}{2}
к лучу CB
. Пусть построенный луч пересекает сторону AB
(а не её продолжение) в точке в точке K
. От луча KC
в полуплоскость, содержащую вершину B
, отложим луч под углом \frac{\beta}{2}
к лучу KC
. Пусть построенный луч пересекает сторону BC
(а не её продолжение) в точке H
. Построенные точки K
и H
— искомые.
Доказательство. По построению \angle HKC=\angle HCK=\frac{\beta}{2}
, поэтому KH=HC
. По теореме о внешнем угле треугольника
\angle KHB=\angle HKC+\angle HCK=\frac{\beta}{2}+\frac{\beta}{2}=\beta,
поэтому KB=KH
.
Исследование. В первом пункте было доказано, что если K
и H
— искомые точки, то
\angle CKH=\angle KCB=\frac{\beta}{2}.
Следовательно, если решение существует, то оно единственно.
Выясним теперь, когда решение существует. При построении мы предположили, что первый построенный луч пересекает сторону AB
, а второй — сторону BC
.
Пусть \angle ACB=\gamma
. Первое из этих предположений выполняется если \frac{\beta}{2}\lt\gamma
, а второе выполняется, если
\frac{\beta}{2}\lt\angle CKB=180^{\circ}-\beta-\frac{\beta}{2}=180^{\circ}-\frac{3}{2}\beta,
т. е. для \beta\lt90^{\circ}
. Если оба эти условия выполняются, построение возможно и решение существует.
Докажем теперь, что если решение существует, то эти два условия выполняются. Пусть K
и H
— искомые точки. Тогда по доказанному \angle BCK=\frac{\beta}{2}
, а так как точка K
лежит на отрезке AB
, то \angle BCK\lt\angle BCA
, поэтому \frac{\beta}{2}\lt\gamma
. Кроме того, поскольку точка H
лежит на отрезке BC
, то \angle CKH\lt\angle CKB
, а поскольку точки K
и H
искомые, то (как доказано)
\angle CKH=\frac{\beta}{2},~\angle CKB=180^{\circ}-\frac{3}{2}\beta.
Значит, \beta\lt90^{\circ}
.
Итак, если в треугольнике ABC
известно, что \angle ABC\lt90^{\circ}
и \frac{1}{2}\angle ABC\lt\angle ACB
, то решение существует и единственно, а противном случае (т. е. если хотя бы одно из этих условий не выполняется) решений нет.
Источник: Вступительное задание ЗФТШ при МФТИ. — 1970, № 6, с. 19, 52