17014. Докажите, что произведение диагоналей вписанного выпуклого шестиугольника, соединяющих противоположные вершины, равно сумме пяти слагаемых, два из которых — произведения сторон шестиугольника, взятых через одну, а три других — произведения двух противоположных сторон на разделяющую их диагональ.
Решение. Пусть ABCDEF
— данный шестиугольник со сторонами AB=a
, BC=b
, CD=c
, DE=d
, EF=e
, FA=f
и диагоналями BE=x
, CF=y
и DA=z
. Требуется доказать, что
xyz=ace+bdf+ady+bez+cfx.
Применив теорему Птолемея к четырёхугольникам BCEF
, ACDE
, ABEF
и ABCF
, получим
xy=be+BF\cdot CE~\Rightarrow~xyz=bez+BF\cdot CE\cdot z=bez+BF\cdot(CE\cdot z)=
=bez+BF\cdot(c\cdot AE+d\cdot AC)=bez+c\cdot(BF\cdot AE)+d\cdot(BF\cdot AC)=
=bez+c\cdot(BF\cdot AE)+d\cdot(BF\cdot AC)=c(ae+fx)+d(bf+ay)=
=ace+bdf+ady+bez+cfx.
Что и требовалось доказать.
Примечание. См. также: Л.М.Лоповок «Вписанный шестиугольник», Квант, 1973, N1, с.18-22.
Источник: Журнал «Квант». — 1973, № 1, с. 20