17015. Продолжения сторон AB
и CD
выпуклого четырёхугольника ABCD
пересекаются в точке P
, а продолжения сторон BC
и AD
— в точке Q
. Прямые AC
и BD
пересекают прямую PQ
в точках K
и L
соответственно. Докажите, что PK:KQ=PL:LQ
.
Решение. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке.
По теореме Менелая для треугольника APQ
и прямой BD
получаем
\frac{AD}{DQ}\cdot\frac{QL}{LP}\cdot\frac{PB}{BA}=1.
По теореме Чевы для того же треугольника получаем
\frac{AD}{DQ}\cdot\frac{QK}{KP}\cdot\frac{PB}{BA}=1.
Разделив первое равенство на второе, получим
\frac{QL}{LP}\cdot\frac{KP}{QK}=1,~\mbox{или}~\frac{PK}{KQ}=\frac{PL}{LQ}.
Что и требовалось доказать.
Аналогично для любого другого случая.