17017. В трапеции ABCD
нижнее основание AD
в два раза больше больше верхнего, равного a
, угол A
при основании равен 45^{\circ}
, а окружности, построенные на боковых сторонах как на диаметрах, касаются друг друга. Найдите площадь трапеции.
Ответ. \frac{6a^{2}}{3\sqrt{2}-1}
.
Решение. Пусть h
— высота трапеции, l
— средняя линия, S
— площадь трапеции. Тогда
S=lh=\frac{a+2a}{2}\cdot h=\frac{3}{2}ah.
Центры окружностей, о которых говорится в условии — середины боковых сторон трапеции, а так как окружности касаются, то расстояние между их центрами (т. е. средняя линия трапеции), равно сумме радиусов. В то же время, сумме радиусов равна полусумма боковых сторон. Значит, сумма оснований данной трапеции равна сумме боковых сторон, т. е. a+2a=3a
(в такую трапецию можно вписать окружность).
Пусть BH
— высота трапеции. Из равнобедренного прямоугольного треугольника получаем, что AH=BH=h
. Через вершину B
параллельно боковой стороне CD
проведём прямую до пересечения с основанием AD
в точке M
. Тогда BCDM
— параллелограмм, поэтому
AM=AD-DM=AD=2a-a=a~\Rightarrow~HM=AM-AH=a-h,
BM=CD=3a-AB=3a-h\sqrt{2}.
По теореме Пифагора
BH^{2}+HM^{2}=BM^{2},~\mbox{или}~h^{2}+(a-h)^{2}=(3a-h\sqrt{2})^{2}.
После очевидных упрощений получим, что h=\frac{4a}{3\sqrt{2}-1}
Следовательно,
S=\frac{3}{2}ah=\frac{6a^{2}}{3\sqrt{2}-1}.
Источник: Вступительный экзамен на физический факультет НГУ. — 1973, задача 2, вариант 3
Источник: Журнал «Квант». — 1974, № 2, с. 52, задача 2