17018. Одна из боковых сторон трапеции перпендикулярна основаниям и равна 2a
. На этой стороне как на диаметре построена окружность, которая делит другую боковую сторону на три отрезка. Отношение этих отрезков равно 1:2:2
(считая от большего основания. Найдите площадь трапеции.
Ответ. \frac{a^{2}\sqrt{14-4\sqrt{6}}\cdot(\sqrt{3}+2\sqrt{2})}{5}=\frac{a^{2}(2+3\sqrt{6})}{5}
.
Решение. Пусть окружность с диаметром AB=2a
касается меньшего основания BC
трапеции ABCD
в точке B
, большего основания AD
— в точке A
и пересекает боковую сторону CD
в точках P
и Q
, причём CP:PQ:QD=1:2:2
. Положим CP=x
, PQ=QD=2x
.
По теореме о касательной и секущей
BC=\sqrt{CQ\cdot CP}=\sqrt{3x\cdot x}=x\sqrt{3},~AD\sqrt{DP\cdot DQ}=\sqrt{4x\cdot2x}=2x\sqrt{2}.
Через вершину B
параллельно CD
проведём прямую до пересечения с AD
в точке M
. Тогда BCDM
— параллелограмм, поэтому
BM=CD=5x~\Rightarrow~AM=AD-DM=AD-BC=2x\sqrt{2}-x\sqrt{3}=x(2\sqrt{2}-\sqrt{3}).
По теореме Пифагора
BM^{2}=AM^{2}+AB^{2},~\mbox{или}~25x^{2}=x^{2}(2\sqrt{2}-\sqrt{3})^{2}+4a^{2}~\Leftrightarrow~x^{2}(14+4\sqrt{6})=4a^{2},
откуда
x^{2}=\frac{2a^{2}}{7+2\sqrt{6}}=\frac{2a^{2}(7-2\sqrt{6})}{25}~\Rightarrow~x=\frac{a\sqrt{14-4\sqrt{6}}}{5}.
Тогда
S_{ABCD}=\frac{BC+AD}{2}\cdot AB=\frac{x\sqrt{3}+2x\sqrt{2}}{2}\cdot2a=x(\sqrt{3}+2\sqrt{2})a=
=\frac{a\sqrt{14-4\sqrt{6}}}{5}\cdot(\sqrt{3}+2\sqrt{2})a=\frac{a^{2}\sqrt{(14-4\sqrt{6})(\sqrt{3}+2\sqrt{2})^{2}}}{5}=
=\frac{a^{2}\sqrt{(14-4\sqrt{6})(11+4\sqrt{6})}}{5}=\frac{a^{2}\sqrt{58+12\sqrt{6}}}{5}=\frac{a^{2}\sqrt{(2+3\sqrt{6})^{2}}}{5}=
=\frac{a^{2}(2+3\sqrt{6})}{5}.
Источник: Вступительный экзамен на физический факультет НГУ. — 1973, задача 2, вариант 2
Источник: Журнал «Квант». — 1974, № 2, с. 52, задача 2