17019. В прямоугольном треугольнике ABC
катеты AB
и BC
относятся как 1:2
. На гипотенузе AC
выбраны точки M
и N
, причём лучи BM
и BN
делят угол B
на три равные части. Найдите отношение отрезков BM
и BN
.
Ответ. (3\sqrt{3}-4):1
.
Решение. Пусть AB=x
, BC=2x
, BM=a
, BN=b
, BAC=\alpha
. Тогда
\angle AMB=180^{\circ}-(30^{\circ}+\alpha),~\angle ANB=180^{\circ}-(60^{\circ}+\alpha),
\tg\alpha=\frac{1}{2},~\sin\alpha=\frac{1}{\sqrt{5}},~\cos\alpha=\frac{2}{\sqrt{5}},
а по теореме о внешнем угле треугольника
\angle ANB=30^{\circ}+(90^{\circ}-\alpha)=120^{\circ}-\alpha,~\angle AMB=30^{\circ}+\alpha).
По теореме синусов из треугольника BMN
получаем
\frac{a}{b}=\frac{\sin\angle ANB}{\sin\angle AMB}=\frac{\sin(120^{\circ}-\alpha)}{\sin(30^{\circ}+\alpha)}=\frac{\sin120^{\circ}\cos\alpha-\cos120^{\circ}\sin\alpha}{\sin30^{\circ}\cos\alpha+\cos30^{\circ}\sin\alpha}=
=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{2}{\sqrt{5}}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{5}}}{\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{\sqrt{5}}+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{5}}}=\frac{2\sqrt{3}+1}{2+\sqrt{3}}=\frac{(2\sqrt{3}+1)(2-\sqrt{3})}{2^{2}-(\sqrt{3})^{2}}=3\sqrt{3}-4.
Источник: Вступительный экзамен на физический факультет НГУ. — 1978, задача 2, вариант 4
Источник: Журнал «Квант». — 1974, № 2, с. 53, задача 4