17019. В прямоугольном треугольнике
ABC
катеты
AB
и
BC
относятся как
1:2
. На гипотенузе
AC
выбраны точки
M
и
N
, причём лучи
BM
и
BN
делят угол
B
на три равные части. Найдите отношение отрезков
BM
и
BN
.
Ответ.
(3\sqrt{3}-4):1
.
Решение. Пусть
AB=x
,
BC=2x
,
BM=a
,
BN=b
,
BAC=\alpha
. Тогда
\angle AMB=180^{\circ}-(30^{\circ}+\alpha),~\angle ANB=180^{\circ}-(60^{\circ}+\alpha),

\tg\alpha=\frac{1}{2},~\sin\alpha=\frac{1}{\sqrt{5}},~\cos\alpha=\frac{2}{\sqrt{5}},

а по теореме о внешнем угле треугольника
\angle ANB=30^{\circ}+(90^{\circ}-\alpha)=120^{\circ}-\alpha,~\angle AMB=30^{\circ}+\alpha).

По теореме синусов из треугольника
BMN
получаем
\frac{a}{b}=\frac{\sin\angle ANB}{\sin\angle AMB}=\frac{\sin(120^{\circ}-\alpha)}{\sin(30^{\circ}+\alpha)}=\frac{\sin120^{\circ}\cos\alpha-\cos120^{\circ}\sin\alpha}{\sin30^{\circ}\cos\alpha+\cos30^{\circ}\sin\alpha}=

=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{2}{\sqrt{5}}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{5}}}{\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{\sqrt{5}}+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{5}}}=\frac{2\sqrt{3}+1}{2+\sqrt{3}}=\frac{(2\sqrt{3}+1)(2-\sqrt{3})}{2^{2}-(\sqrt{3})^{2}}=3\sqrt{3}-4.

Источник: Вступительный экзамен на физический факультет НГУ. — 1978, задача 2, вариант 4
Источник: Журнал «Квант». — 1974, № 2, с. 53, задача 4