17021. Около многоугольника можно описать окружность и в него можно вписать окружность, причём эти окружности концентрические. Докажите, что многоугольник правильный.
Решение. Пусть AB
и OC
— соседние стороны данного n
-угольника, O
— общий центр его описанной окружности радиуса R
и вписанной окружности радиуса r
, X
и Y
— точки касания вписанной окружности со сторонами AB
и AC
соответственно.
Треугольники AOB
и AOC
равнобедренные с боковыми сторонами, равными R
, поэтому их высоты OX
и OY
являются медианами. Прямоугольные треугольники AOX
и AOY
равны по катету (OX=OY=r
) и гипотенузе (OA=OB=R
), поэтому AB=2AX=2AY=AC
и \angle AOB=\angle AOC
. Аналогично доказываются равенства всех остальных сторон и соответствующих углов n
-угольника. Тогда каждый из этих углов равен \frac{360^{\circ}}{n}
.
При повороте на угол \frac{360^{\circ}}{n}
n
-угольник переходит в себя. Следовательно (см. задачу 6001), данный многоугольник правильный.