17027. К какой стороне остроугольного треугольника ABC
ближе всего расположена точка пересечения его высот, если \angle A\lt\angle B\lt\angle C
? А к какой вершине?
Ответ. К стороне AB
; к вершине C
.
Решение. Пусть высоты AK
, BM
и CP
пересекаются в точке O
. Тогда расстояния от точки O
до сторон равны OK
, OM
и OP
. Докажем, что OK\lt OM\lt OP
.
Докажем левое неравенство. Действительно, из прямоугольных треугольников COM
, CPA
и CKO
, CPB
получаем
\frac{OM}{OC}=\frac{AP}{AC}=\cos\angle A,~\frac{OK}{OC}=\frac{BP}{BC}=\cos\angle B,
а так как \angle A\lt\angle B
, то \cos\angle A\gt\cos\angle B
. Следовательно,
\frac{OM}{OC}\gt\frac{OK}{OC}~\Rightarrow~OM\gt OK.
Аналогично доказывается правое неравенство.
Докажем теперь, что OA\gt OB\gt OC
. Действительно, из прямоугольных треугольников APO
и BPO
получаем
\frac{OA}{OP}=\frac{1}{\sin\angle OAP}=\frac{1}{\cos\angle B},~\frac{OB}{OP}=\frac{1}{\sin\angle OBP}=\frac{1}{\cos\angle A},
а так как \angle A\lt\angle B
, то \frac{1}{\cos\angle A}\lt\frac{1}{\cos\angle B}
. Следовательно,
\frac{OA}{OP}\gt\frac{OB}{OP}~\Rightarrow~OA\gt OB.
Аналогично доказывается правое неравенство.
Автор: Шнайдер Л.
Источник: Журнал «Квант». — 1972, № 12, с. 34, М176; 1973, № 13, с. 64, М176
Источник: Задачник «Кванта». — , 1973, М176