17028. В прямоугольном треугольнике один из острых углов равен \alpha
. На отрезках гипотенузы, образуемых основанием опущенной на неё высоты, как на диаметрах построены окружности, расположенные от гипотенузы по одну сторону с данным треугольником. Найдите отношение отрезков катетов, заключённых внутри этих полуокружностей.
Ответ. \tg^{3}\alpha
.
Решение. Пусть AD
— высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины A
прямого угла данного треугольника ABC
; CE
и BF
— отрезки, заключённые внутри полуокружностей с диаметрами CD
и BD
соответственно, а \angle ACD=\angle ADE=\angle BAD=\angle BDF=\alpha
.
Тогда AEDF
— прямоугольник, поэтому DF=AE
. Значит,
\frac{BF}{CE}=\frac{DF\tg\alpha}{CE}=\frac{AE\tg\alpha}{CE}=\frac{DE\tg\alpha\cdot\tg\alpha}{CE}=\frac{DE\tg^{2}\alpha}{CE}=\frac{CE\tg\alpha\cdot\tg^{2}\alpha}{CE}=\tg^{3}\alpha.
Примечание. См. также статью Я.Суконника и П.Горнштейна «Простой ответ в ,,сложной`` задаче», Квант, 1976, N2, с.46-49.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1973
Источник: Журнал «Квант». — 1976, № 2, с. 46, задача 1