1703. Докажите, что отличная от A
точка пересечения окружностей, построенных на сторонах AB
и AC
треугольника ABC
как на диаметрах, лежит на прямой BC
.
Указание. Указанная точка — основание высоты, проведённой из вершины A
.
Решение. Пусть H
— отличная от B
точка пересечения с прямой BC
окружности, построенной на стороне AB
как на диаметре. Поскольку точка H
лежит на окружности с диаметром AB
, то \angle AHB=90^{\circ}
. Если вторая окружность пересекает BC
в точке H_{1}
, отличной от C
, то аналогично \angle AH_{1}C=90^{\circ}
. Из единственности перпендикуляра следует, что точки H
и H_{1}
совпадают.