17030. На сторонах AD
и CD
квадрата ABCD
со стороной 3 взяты две точки M
и N
, для которых длина ломаной MDN
равна стороне квадрата. Прямые AM
и BN
пересекаются в точке E
. Найдите ME
, если NE=4
.
Ответ. 5.
Решение. Из подобия треугольников BCN
и NDE
получаем
\frac{BC}{CN}=\frac{BC}{CN}~\Rightarrow~\frac{3}{3-DNC}=\frac{DE}{DN}~\Rightarrow~3DE-3DN=DN\cdot DE,
а так как
MD=3-DN~\mbox{и}~DN^{2}+DE^{2},
то
ME=MN+DE=(3-DN)+DE=\sqrt{3-DN+DE}=\sqrt{(3-DN+DE)^{2}}=
=\sqrt{9+DN^{2}+DE^{2}+2(3DE-3DN-DN\cdot DE)}=
=\sqrt{9+NE^{2}+2(DN\cdot DE-DN\cdot DE)}=\sqrt{9+16+2\cdot0}=5.
Примечание. См. также статью Я.Суконника и П.Горнштейна «Простой ответ в ,,сложной`` задаче», Квант, 1976, N2, с.46-49.
Источник: Вступительный экзамен на математико-механический факультет ЛГУ (СПбГУ). — 1973
Источник: Журнал «Квант». — 1976, № 2, с. 48, задача 4