17033. В равнобедренный треугольник вписана окружность. Точка пересечения медиан лежит на этой окружности. Найдите угол при основании равнобедренного треугольника.
Ответ. \arccos\frac{1}{5}
.
Решение. Пусть ABC
— равнобедренный треугольник с основанием AC
и углом \alpha
при основании, I
— центр вписанной в него окружности радиуса r
, E
и D
— точки касания вписанной окружности с боковой стороной AB
и основанием AC
соответственно, K
— отличная от D
точка пересечения окружности с медианой (она же высота) BD
.
Тогда
IK=IE=ID=r,~DK=2r,~BK=2DK=4r,~BI=IK=4r+r=5r.
Из прямоугольных треугольников BEI
и BDA
получаем
\angle BIE=90^{\circ}-\angle IBE=90^{\circ}-\angle ABD=\angle BAC=\alpha.
Значит,
\cos\alpha=\cos\angle BIE=\frac{IE}{BI}=\frac{r}{5r}=\frac{1}{5}.
Следовательно, \alpha=\arccos\frac{1}{5}
.
Источник: Вступительный экзамен в МИФИ. — 1976, задача 2, вариант 1
Источник: Журнал «Квант». — 1976, № 12, с. 55, задача 2