17034. Даны две непересекающиеся окружности. Существует ли вне окружностей точка, для которой любая прямая, проходящая через неё, пересекает хотя бы одну из окружностей?
Ответ. Существует, если одна из окружностей расположена вне другой.
Решение. Если одна из окружностей находится внутри другой (рис. 1), то такой точки, очевидно не найдётся.
Пусть окружности расположены, как показано на рисунке 2. Тогда любая точка A
, расположенная внутри криволинейного треугольника MKP
, удовлетворяет требуемому условию. Действительно, если луч KA
проходит между сторонами угла MKP
, то этот луч (а значит, и прямая KA
) пересекает окружность, вписанную в этот угол. Если луч KA
не проходит между сторонами угла MKP
, то он проходит между сторонами смежного с ним угла, поэтому этот луч (а значит, и прямая KA
) пересекает вторую окружность (вписанную в угол, смежный с углом MKP
).
Источник: Вступительное задание ЗФТШ при МФТИ. — 1977, задача 6
Источник: Журнал «Квант». — 1977, № 9, с. 29, задача 6