17035. Разбейте произвольный разносторонний треугольник на семь равнобедренных треугольников, из которых три равны между собой.
Решение. Пусть ABC
— треугольник со сторонами BC=a
, CA=b
, AB=c
и a\lt b\lt c
.
Пусть окружность с центром A
и радиусом AC=b
пересекает сторону AB
в точке D
; окружность с центром B
и радиусом BD=c-b
пересекает BC
в точке E
; окружность с центром C
и радиусом CE=BC-BE=a-(c-b)=a-c+b
пересекает сторону AB
в точке F
; окружность с центром A
и радиусом
AF=CA-CF=CA-CE=b-(a-c+b)=c-a
пересекает сторону AB
в точке G
.
Биссектрисы углов при вершинах A
, B
и C
равнобедренных треугольников ACD
, AFG
, BDE
и CEF
лежат на серединных перпендикулярах к основаниям FG
, CD
, DE
и EF
соответственно, поэтому OC=OD=OE=OF=OG
, т. е. точки C
, D
, E
, F
и G
лежат на окружности с центром O
. Следовательно, треугольник ABC
разбит на равнобедренные треугольники COF
, FOG
, GOD
, DOE
, EOC
, FAG
и DBE
, а так как
DG=AB-AG-BD=c-(c-a)-(c-b)=a-c+b=CF=CE,
то треугольники GOD
, COF
и EOC
равны по трём сторонам. Что и требовалось доказать.
Автор: Хабелашвили А. В.
Источник: Журнал «Квант». — 1977, № 1, с. 26, М422; 1977, № 9, с. 36
Источник: Задачник «Кванта». — 1977, M422