17037. Точка
O
— центр описанной окружности остроугольного треугольника
ABC
. Отрезки
BO
и
CO
продолжены до пересечения в точках
D
и
E
со сторонами
AC
и
AB
соответственно. Оказалось, что
\angle BDE=50^{\circ}
, а
\angle CED=30^{\circ}
. Найдите углы треугольника
ABC
и докажите равенства
EA=ED
,
CE=CB
и
CD=CO
.
Ответ.
50^{\circ}
,
70^{\circ}
,
60^{\circ}
.
Решение. Поскольку треугольник остроугольный
\angle BAC=\frac{1}{2}\angle BOC=\frac{1}{2}\angle DOE=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle ODE-\angle OED)=

=\frac{1}{2}(180^{\circ}-50^{\circ}-30^{\circ})=50^{\circ}.

Обозначим
\angle EBD=\varphi
. Тогда
\angle OEB=100^{\circ}-\varphi,~\angle ABC=\varphi+40^{\circ},~\angle ACB=90^{\circ}-\varphi,

\angle OCD=50^{\circ}-\varphi,~\angle ODC=\varphi+50^{\circ}.

Отсюда видно, что
0^{\circ}\lt\varphi\lt50^{\circ}
.
По теореме синусов из треугольников
ODE
,
OBE
и
OCD
(учитывая, что
OC=OB
) получаем
2\sin50^{\circ}=\frac{\sin50^{\circ}}{\sin30^{\circ}}=\frac{OE}{OD}=\frac{OE}{OB}\cdot\frac{OC}{OD}=\frac{\sin\angle OBE}{\sin\angle OEB}\cdot\frac{\sin\angle ODC}{\sin\angle OCD}=

=\frac{\sin\varphi\sin(\varphi+50^{\circ})}{\sin(100^{\circ}-\varphi)\sin(50^{\circ}-\varphi)}.

Таким образом, для
0^{\circ}\lt\varphi\lt50^{\circ}
получаем уравнение
2\sin50^{\circ}=\frac{\sin\varphi\sin(\varphi+50^{\circ})}{\sin(100^{\circ}-\varphi)\sin(50^{\circ}-\varphi)},

равносильное уравнениям
2\sin50^{\circ}(\cos(50^{\circ}-\cos(150^{\circ}-2\varphi))=\cos50^{\circ}-\cos(50^{\circ}+2\varphi),

\sin20^{\circ}-\sin(2\varphi-40^{\circ})+2\sin50^{\circ}\cos(2\varphi+30^{\circ})=0,

\cos(\varphi-10^{\circ})\sin(30^{\circ}-\varphi)+\sin50^{\circ}\sin(60^{\circ}-2\varphi)=0,

\sin(30^{\circ}-\varphi)(\cos(\varphi-10^{\circ})+2\sin50^{\circ}\cos(30^{\circ}-\varphi)=0.

Поскольку
\cos(\varphi-10^{\circ})
и
\cos(\varphi-30^{\circ})
положительны при
0^{\circ}\lt\varphi\lt50^{\circ}
, последнее уравнение имеет единственный корень
\varphi=30^{\circ}
. Отсюда
\angle ABC=70^{\circ}
и
\angle ACB=60^{\circ}
.
Далее получаем
\angle BEC=70^{\circ}~\Rightarrow~CE=CB;~\angle ODC=80^{\circ}~\Rightarrow~CD=CO;~\angle ADE=50^{\circ}~\Rightarrow~EA=ED.

Автор: Суконник Я. Н.
Источник: Журнал «Квант». — 1977, № 6, с. 44, М447; 1978, № 4, с. 28
Источник: Задачник «Кванта». — 1977, M447