17037. Точка O
— центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC
. Отрезки BO
и CO
продолжены до пересечения в точках D
и E
со сторонами AC
и AB
соответственно. Оказалось, что \angle BDE=50^{\circ}
, а \angle CED=30^{\circ}
. Найдите углы треугольника ABC
и докажите равенства EA=ED
, CE=CB
и CD=CO
.
Ответ. 50^{\circ}
, 70^{\circ}
, 60^{\circ}
.
Решение. Поскольку треугольник остроугольный
\angle BAC=\frac{1}{2}\angle BOC=\frac{1}{2}\angle DOE=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle ODE-\angle OED)=
=\frac{1}{2}(180^{\circ}-50^{\circ}-30^{\circ})=50^{\circ}.
Обозначим \angle EBD=\varphi
. Тогда
\angle OEB=100^{\circ}-\varphi,~\angle ABC=\varphi+40^{\circ},~\angle ACB=90^{\circ}-\varphi,
\angle OCD=50^{\circ}-\varphi,~\angle ODC=\varphi+50^{\circ}.
Отсюда видно, что 0^{\circ}\lt\varphi\lt50^{\circ}
.
По теореме синусов из треугольников ODE
, OBE
и OCD
(учитывая, что OC=OB
) получаем
2\sin50^{\circ}=\frac{\sin50^{\circ}}{\sin30^{\circ}}=\frac{OE}{OD}=\frac{OE}{OB}\cdot\frac{OC}{OD}=\frac{\sin\angle OBE}{\sin\angle OEB}\cdot\frac{\sin\angle ODC}{\sin\angle OCD}=
=\frac{\sin\varphi\sin(\varphi+50^{\circ})}{\sin(100^{\circ}-\varphi)\sin(50^{\circ}-\varphi)}.
Таким образом, для 0^{\circ}\lt\varphi\lt50^{\circ}
получаем уравнение
2\sin50^{\circ}=\frac{\sin\varphi\sin(\varphi+50^{\circ})}{\sin(100^{\circ}-\varphi)\sin(50^{\circ}-\varphi)},
равносильное уравнениям
2\sin50^{\circ}(\cos(50^{\circ}-\cos(150^{\circ}-2\varphi))=\cos50^{\circ}-\cos(50^{\circ}+2\varphi),
\sin20^{\circ}-\sin(2\varphi-40^{\circ})+2\sin50^{\circ}\cos(2\varphi+30^{\circ})=0,
\cos(\varphi-10^{\circ})\sin(30^{\circ}-\varphi)+\sin50^{\circ}\sin(60^{\circ}-2\varphi)=0,
\sin(30^{\circ}-\varphi)(\cos(\varphi-10^{\circ})+2\sin50^{\circ}\cos(30^{\circ}-\varphi)=0.
Поскольку \cos(\varphi-10^{\circ})
и \cos(\varphi-30^{\circ})
положительны при 0^{\circ}\lt\varphi\lt50^{\circ}
, последнее уравнение имеет единственный корень \varphi=30^{\circ}
. Отсюда \angle ABC=70^{\circ}
и \angle ACB=60^{\circ}
.
Далее получаем
\angle BEC=70^{\circ}~\Rightarrow~CE=CB;~\angle ODC=80^{\circ}~\Rightarrow~CD=CO;~\angle ADE=50^{\circ}~\Rightarrow~EA=ED.
Автор: Суконник Я. Н.
Источник: Журнал «Квант». — 1977, № 6, с. 44, М447; 1978, № 4, с. 28
Источник: Задачник «Кванта». — 1977, M447