17038. Какому условию должны удовлетворять стороны a
, b
и c
треугольника, чтобы треугольник, составленный из его высот, был подобен данному?
Ответ. b^{2}=ac
, где b
— средняя сторона треугольника.
Решение. Пусть S
— площадь треугольника, a\leqslant b\leqslant c
, а высоты, опущенные на стороны a
, b
и c
, равны h_{a}
, h_{b}
и h_{c}
соответственно. Тогда
S=\frac{1}{2}ah_{a}=\frac{1}{2}bh_{b}=\frac{1}{2}ch_{c},
поэтому a\geqslant b\geqslant c
. Значит, если треугольник со сторонами a
, b
и c
и треугольник, составленный из его высот подобны с коэффициентом k
, то
h_{a}=kc,~h_{b}=kb,~h_{c}=ka,~\frac{h_{a}}{h_{b}}=\frac{c}{b},~\frac{h_{a}}{h_{c}}=\frac{c}{a}.
равенство \frac{h_{a}}{h_{c}}=\frac{c}{a}
верно всегда, поэтому треугольник со сторонами a
, b
и c
и треугольник из его высот подобны, если \frac{h_{a}}{h_{b}}=\frac{c}{b}
, а так как \frac{h_{a}}{h_{b}}=\frac{b}{a}
, то \frac{c}{b}=\frac{b}{a}
, откуда b^{2}=ac
.
Автор: Савин А. П.
Источник: Журнал «Квант». — 1975, № 10, с. 38, М349а; 1976, № 6, с. 33
Источник: Задачник «Кванта». — 1975, M349