1704. Окружность, построенная на катете прямоугольного треугольника как на диаметре, делит гипотенузу пополам. Найдите углы треугольника.
Ответ. 45^{\circ}
, 45^{\circ}
, 90^{\circ}
.
Указание. Если медиана треугольника является его высотой, то треугольник равнобедренный.
Решение. Пусть окружность, построенная как на диаметре на катете AC
прямоугольного треугольника ABC
, пересекает гипотенузу AB
в её середине M
. Поскольку точка M
лежит на окружности с диаметром AC
, то \angle AMC=90^{\circ}
. Значит, CM
— высота и медиана треугольника ABC
. Поэтому треугольник ABC
равнобедренный. Следовательно,
AC=BC,~\angle BAC=\angle ABC=45^{\circ}.