17045. Докажите, что радиус
R
описанной окружности треугольника, радиус
r
вписанной окружности и периметр
P
треугольника удовлетворяют неравенству:
а)
R\gt\frac{\sqrt{3}}{3}\sqrt{Pr}
, если треугольник остроугольный или тупоугольный;
б)
R\geqslant\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{Pr}
, если треугольник прямоугольный.
Решение. а) Пусть
O
— центр описанной окружности треугольника
ABC
, а
\angle AOB=\alpha
,
\angle BOC=\beta
и
\angle COA=\gamma
.
Если треугольник остроугольный, то
\frac{1}{2}Pr=S_{\triangle ABC}=S_{\triangle AOB}+S_{\triangle BOC}+S_{\triangle COA}=\frac{1}{2}R^{2}\sin\alpha+\frac{1}{2}R^{2}\sin\beta+\frac{1}{2}R^{2}\sin\gamma=

=\frac{1}{2}R^{2}(\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma),~~\mbox{или}~Pr=R^{2}(\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma).

Заметим, что из общих свойств синуса
\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma\leqslant3,

а так как
\alpha+\beta+\gamma=360^{\circ},

то
\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma\lt3.

Значит,
R^{2}=\frac{Pr}{\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma)}\gt\frac{Pr}{3}.

Следовательно,
R\gt\sqrt{\frac{Pr}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\sqrt{Pr}.

Если треугольник тупоугольный с тупым углом при вершине
B
, то
\frac{1}{2}Pr=S_{\triangle ABC}=S_{\triangle AOB}+S_{\triangle BOC}-S_{\triangle COA},~\mbox{или}~Pr=R^{2}(\sin\alpha+\sin\beta-\sin(\alpha+\beta)).

Поскольку
\sin\alpha\leqslant1,~\sin\beta\leqslant1,~\sin(\alpha+\beta)\geqslant-1~\mbox{и}~\alpha+\beta\ne270^{\circ},

то
\sin\alpha+\sin\beta-\sin(\alpha+\beta)\lt3.

Тогда аналогично предыдущему случаю
R\gt\sqrt{\frac{Pr}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\sqrt{Pr}.

Что и требовалось доказать.
б) Пусть треугольник
ABC
прямоугольный с прямым углом при вершине
B
, а
\angle AOB=\alpha
,
\angle BOC=\beta
. Тогда
Pr=2S_{\triangle ABC}=2(S_{\triangle AOB}+S_{\triangle BOC})=2\cdot\frac{1}{2}R^{2}(\sin\alpha+\sin\beta)R^{2}(\sin\alpha+\sin\beta)\leqslant2R^{2},

откуда
R\geqslant\sqrt{\frac{Pr}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{Pr}.

Что и требовалось доказать.
Заметим, что если
\angle A=\angle B=45^{\circ}
, то
R=\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{Pr}
. В этом случаем радиус
R
принимает наименьшее значение.
Примечание. См. статью С.Р.Сефибекова «Доказательство геометрических неравенств», Квант, 1979, N3, с.51-53.
Источник: Журнал «Квант». — 1979, № 3, с. 51, задача 2