17047. Из точки C
, взятой вне угла AOB
, равного 60^{\circ}
, опущены перпендикуляры CD
, CM
и CN
соответственно на стороны OA
, OB
и биссектрису ON
данного угла. Найдите ON
, если CM=d_{1}
и CD=d_{2}
.
Ответ. |d_{1}-d_{2}|
.
Решение. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке (CM\gt CD
). Пусть прямая CN
пересекает стороны OA
и OB
данного угла в точках P
и E
соответственно. Треугольник EOP
равнобедренный, так как его биссектриса ON
является высотой. Один его угол равен 60^{\circ}
, значит, треугольник равносторонний. Его высота ON
равна высоте PF
.
Пусть K
— перпендикуляр, опущенный из точки P
на CM
. Поскольку
\angle MCD=\angle DOE=60^{\circ}~\mbox{и}~\angle MCE=90^{\circ}-\angle OEP=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ},
луч CP
— биссектриса угла DCK
. Прямоугольные треугольники CKP
и CDP
равны по гипотенузе и острому углу, поэтому CK=CD=d_{2}
. Следовательно,
ON=PF=KM=CM-CK=d_{1}-d_{2}.
Если CM\lt CD
, аналогично получим ON=d_{2}-d_{1}
.
Примечание. См. статью М.Л.Крайзмана «Заменим фигуру», Квант, 1979, N5, с.34-38.
Источник: Журнал «Квант». — 1979, № 5, с. 34, задача 1