17048. В равнобедренном треугольнике ABC
с основанием AC
проведена высота AD
. В треугольники ABD
и ACD
вписаны полукруги с диаметрами на отрезках BD
и AD
. Найдите отношение площадей этих кругов, если \angle B=\frac{\pi}{4}
.
Ответ. \ctg^{2}\frac{\pi}{16}
.
Решение. Пусть O_{1}
и O_{2}
— центры полукругов радиусов r_{1}
и r_{2}
соответственно, M
— точка касания первого полукруга с боковой стороной AB
.
Из равнобедренных прямоугольных треугольника BMO_{1}
и ADB
получаем
BM=O_{1}M=r_{1}~\mbox{и}~AM=AD=BD,
а так как
BD+DC=BC=AB=AM+BM=BD+r_{1},
то DC=r_{1}
.
Точка O_{2}
лежит на биссектрисе угла ACD
, поэтому
\angle DCO_{2}=\frac{1}{2}\angle ACB=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\left(\pi-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{3\pi}{16},
а так как O_{2}D=r_{2}
, то
\frac{r_{1}}{r_{2}}=\frac{CD}{O_{2}D}=\ctg\angle DCO_{2}=\ctg\frac{3\pi}{16}.
Пусть S_{1}
и S_{2}
— площади полукругов с радиусами r_{1}
и r_{2}
соответственно. Тогда
\frac{S_{1}}{S_{2}}=\frac{\frac{1}{2}\pi r_{1}^{2}}{\frac{1}{2}\pi r_{2}^{2}}=\left(\frac{r_{1}}{r_{2}}\right)^{2}=\ctg^{2}\frac{3\pi}{16}
Примечание. См. статью М.Л.Крайзмана «Заменим фигуру», Квант, 1979, N5, с.34-38.
Источник: Журнал «Квант». — 1979, № 5, с. 34, задача 1