17049. Площадь треугольника со сторонами a
, b
и c
равна S
. Докажите, что:
а) a^{4}+b^{4}+c^{4}\geqslant16S^{2}
;
б) a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2}\geqslant16S^{2}
.
Решение. Пусть угол треугольника, противолежащий стороне c
равен \gamma
. Тогда
S=\frac{1}{2}ab\sin\gamma~\mbox{и}~c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos\gamma,
откуда
\sin\gamma=\frac{2S}{ab}~\mbox{и}~\cos\gamma=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab},
а так как
\sin^{2}\gamma+\cos^{2}\gamma=1,
то
\left(\frac{2S}{ab}\right)^{2}+\left(\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}\right)^{2}=1,
или
\frac{4S^{2}}{a^{2}b^{2}}+\frac{a^{4}+b^{4}+c^{4}+2a^{2}b^{2}-2a^{2}c^{2}-2b^{2}c^{2}}{4a^{2}b^{2}}=1,
откуда
16S^{2}=2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-a^{4}-b^{4}-c^{4},
При этом
a^{4}+b^{4}+c^{4}\geqslant a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2}~\Leftrightarrow~2a^{4}+2b^{4}+2c^{4}\geqslant2a^{2}b^{2}+2a^{2}c^{2}+2b^{2}c^{2}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~(a^{2}-b^{2})^{2}+(a^{2}-c^{2})^{2}+(b^{2}-c^{2})^{2}\geqslant0.
Значит,
a^{4}+b^{4}+c^{4}\geqslant a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2}
(причём равенство достигается тогда и только тогда, когда a=b=c
). Таким образом,
16S^{2}=2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})\leqslant2(a^{4}+b^{4}+c^{4})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})\leqslant
\leqslant a^{4}+b^{4}+c^{4}
и
2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})=16S^{2}+(a^{4}+b^{3}+c^{4})\geqslant16S^{2}+16S^{2}=32S^{2}~\Rightarrow~.
\Rightarrow~a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2}\geqslant16S^{2}.
Что и требовалось доказать.
Доказанные неравенства обращаются в равенства тогда и только тогда, когда треугольник равносторонний.
Примечание. См. статью В.Ольхова «Как придумать геометрическое неравенство», Квант, 1980, N5, с.33.
Источник: Журнал «Квант». — 1980, № 5, с. 33