17050. Площадь треугольника со сторонами a
, b
и c
равна S
. Докажите, что:
а) c^{2}-a^{2}-b^{2}+2\sqrt{2}ab\geqslant4S
;
б) \sqrt{2}(ab+bc)-b^{2}\geqslant4S
.
Решение. Пусть углы треугольника, противолежащие сторонам c
и a
равны \gamma
и \alpha
соответственно. Тогда
S=\frac{1}{2}ab\sin\gamma~\mbox{и}~c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos\gamma,
откуда
\sin\gamma=\frac{2S}{ab}~\mbox{и}~\cos\gamma=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab},
а так как
\sin\gamma+\cos\gamma\leqslant\sqrt{2},
то
\frac{2S}{ab}+\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}\leqslant\sqrt{2}~\Rightarrow~4S+a^{2}+b^{2}-c^{2}\leqslant2\sqrt{2}ab~\Rightarrow~c^{2}-a^{2}-b^{2}+2\sqrt{2}ab\geqslant4S.
Что и требовалось доказать.
б) Аналогично из равенств
S=\frac{1}{2}bc\sin\alpha~\mbox{и}~a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos\alpha
получаем
a^{2}-b^{2}-c^{2}+2\sqrt{2}bc\geqslant4S.
Сложив доказанные неравенства, получим
-2b^{2}+2\sqrt{2}(ab+bc)\geqslant8S~\Rightarrow~\sqrt{2}(ab+bc)-b^{2}\geqslant4S.
Что и требовалось доказать.
Примечание. См. статью В.Ольхова «Как придумать геометрическое неравенство», Квант, 1980, N5, с.33.
Источник: Журнал «Квант». — 1980, № 5, с. 33, упражнение 3