17053. Треугольник
ABC
вписан в окружность радиуса
R
. Точка
D
лежит на дуге
BC
, а хорды
AD
и
BC
пересекаются в точке
M
. Найдите сторону
BC
, если
\angle BMD=120^{\circ}
,
AB=R
,
BM:MC=2:3
.
Ответ.
\frac{5R}{\sqrt{7}}
.
Решение. По теореме синусов
R=AB=2R\sin\angle ACB~\Rightarrow~\sin\angle ACB=\frac{1}{2}~\Rightarrow~\angle ACB=30^{\circ}~\mbox{или}~\angle ACB=150^{\circ},

а так как
\angle AMC=\angle DMB=120^{\circ}
, возможен только случай
\angle ACB=30^{\circ}
.
Треугольник
AMC
равнобедренный, так как
\angle CAM=180^{\circ}-120^{\circ}-30^{\circ}=30^{\circ}=\angle ACM.

Положим
BM=2x
и
MC=3x
. Тогда
AC=2CM\cdot\cos30^{\circ}=3x\sqrt{3}.

По теореме косинусов
R^{2}=AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}-2AC\cdot BC\cos30^{\circ}=27x^{2}+25x^{2}-2\cdot2x\sqrt{3}\cdot5x\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=

=52x^{2}-45x^{2}=7x^{2}~\Rightarrow~x=\frac{R}{\sqrt{7}}.

Следовательно
BC=5x=\frac{5R}{\sqrt{7}}.

Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1980, задача 2, вариант 1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1980, с. 24, задача 2, вариант 1
Источник: Журнал «Квант». — 1981, № 4, с. 48, задача 2