17053. Треугольник ABC
вписан в окружность радиуса R
. Точка D
лежит на дуге BC
, а хорды AD
и BC
пересекаются в точке M
. Найдите сторону BC
, если \angle BMD=120^{\circ}
, AB=R
, BM:MC=2:3
.
Ответ. \frac{5R}{\sqrt{7}}
.
Решение. По теореме синусов
R=AB=2R\sin\angle ACB~\Rightarrow~\sin\angle ACB=\frac{1}{2}~\Rightarrow~\angle ACB=30^{\circ}~\mbox{или}~\angle ACB=150^{\circ},
а так как \angle AMC=\angle DMB=120^{\circ}
, возможен только случай \angle ACB=30^{\circ}
.
Треугольник AMC
равнобедренный, так как
\angle CAM=180^{\circ}-120^{\circ}-30^{\circ}=30^{\circ}=\angle ACM.
Положим BM=2x
и MC=3x
. Тогда
AC=2CM\cdot\cos30^{\circ}=3x\sqrt{3}.
По теореме косинусов
R^{2}=AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}-2AC\cdot BC\cos30^{\circ}=27x^{2}+25x^{2}-2\cdot2x\sqrt{3}\cdot5x\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=
=52x^{2}-45x^{2}=7x^{2}~\Rightarrow~x=\frac{R}{\sqrt{7}}.
Следовательно
BC=5x=\frac{5R}{\sqrt{7}}.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1980, задача 2, вариант 1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1980, с. 24, задача 2, вариант 1
Источник: Журнал «Квант». — 1981, № 4, с. 48, задача 2