17054. Дан выпуклый четырёхугольник ABCD
, диагональ AC
которого равна \sqrt{2}
. Найдите площадь круга, описанного около треугольника ABD
, если известно, что \angle ABC=105^{\circ}
, \angle ACD=42^{\circ}
, \angle DAC=63^{\circ}
.
Ответ. 2\pi(2-\sqrt{3})
.
Решение. Из треугольника ADC
находим, что
\angle ADC=180^{\circ}-63^{\circ}-42^{\circ}=75^{\circ}.
Поскольку
\angle ABC+\angle ADC=105^{\circ}+75^{\circ}=180^{\circ},
четырёхугольник ABCD
вписанный. Описанная около него окружность описана также около треугольников ACD
и ABD
. Пусть её радиус равен R
, а площадь круга, описанного около треугольника ABD
равна S
. По теореме синусов
R=\frac{AC}{2\sin\angle ADC}=\frac{\sqrt{2}}{2\sin75^{\circ}}=\frac{1}{\sqrt{2}\sin75^{\circ}}.
Следовательно,
S=\pi R^{2}=\frac{\pi}{2\sin^{2}75^{\circ}}=\frac{\pi}{1-\cos150^{\circ}}=\frac{\pi}{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2\pi}{2+\sqrt{3}}=2\pi(2-\sqrt{3}).
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук НГУ. — 1980, задача 2
Источник: Журнал «Квант». — 1981, № 4, с. 48, задача 2