17054. Дан выпуклый четырёхугольник
ABCD
, диагональ
AC
которого равна
\sqrt{2}
. Найдите площадь круга, описанного около треугольника
ABD
, если известно, что
\angle ABC=105^{\circ}
,
\angle ACD=42^{\circ}
,
\angle DAC=63^{\circ}
.
Ответ.
2\pi(2-\sqrt{3})
.
Решение. Из треугольника
ADC
находим, что
\angle ADC=180^{\circ}-63^{\circ}-42^{\circ}=75^{\circ}.

Поскольку
\angle ABC+\angle ADC=105^{\circ}+75^{\circ}=180^{\circ},

четырёхугольник
ABCD
вписанный. Описанная около него окружность описана также около треугольников
ACD
и
ABD
. Пусть её радиус равен
R
, а площадь круга, описанного около треугольника
ABD
равна
S
. По теореме синусов
R=\frac{AC}{2\sin\angle ADC}=\frac{\sqrt{2}}{2\sin75^{\circ}}=\frac{1}{\sqrt{2}\sin75^{\circ}}.

Следовательно,
S=\pi R^{2}=\frac{\pi}{2\sin^{2}75^{\circ}}=\frac{\pi}{1-\cos150^{\circ}}=\frac{\pi}{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2\pi}{2+\sqrt{3}}=2\pi(2-\sqrt{3}).

Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук НГУ. — 1980, задача 2
Источник: Журнал «Квант». — 1981, № 4, с. 48, задача 2