17057. В окружности радиуса
r
на расстоянии
\frac{r}{8}
от центра проведена хорда. В меньший из образовавшихся сегментов помещены две окружности одинакового радиуса, причём они касаются одна другой и каждая из них касается данной окружности и проведённой хорды. Найдите радиус этих двух окружностей.
Ответ.
\frac{3}{8}r
.
Решение. Пусть
O
— центр данной окружности радиуса
r
,
M
— середина данной хорды
AB
. Тогда фигура, состоящая из трёх данных окружностей и хорды большей из них, симметрична относительно прямой
OM
.
Пусть
K
— точка касания двух меньших окружностей с центрами
O_{1}
и
O_{2}
,
N
— точка касания данных окружностей с центрами
O
и
O_{1}
. Обозначим через
x
искомый радиус. Рассмотрим прямоугольный треугольник
OKO_{1}
со сторонами
OK=OM+MK=\frac{r}{8}+x,~O_{1}K=x,~OO_{1}=ON-O_{1}N=r-x.

По теореме Пифагора
OK^{2}+O_{1}K^{2}=OO_{1}^{2},~\mbox{или}~\left(\frac{r}{8}+x\right)^{2}+x^{2}=(r-x)^{2}~\Leftrightarrow

\Leftrightarrow~x^{2}+\frac{15}{4}rx-\frac{63}{64}r^{2}=0~\Leftrightarrow~x=\frac{-9r\pm12r}{8}.

Условию задачи удовлетворяет только положительный корень
x=\frac{3}{8}r
.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук НГУ. — 1981, задача 3
Источник: Журнал «Квант». — 1982, № 6, с. 45, задача 3, вариант 2