17059. Через точку B
хорды AB
проведена к окружности касательная, а из точки A
на неё опущен перпендикуляр AC
. Докажите, что величина \frac{AB^{2}}{AC}
не зависит от хорды AB
.
Решение. Опустим перпендикуляр OM
из центра окружности на хорду AB
. Тогда M
— середина AB
и AC\parallel OB
, поэтому \angle OMB=\angle BAC
. Значит, прямоугольные треугольники BMO
и ACB
подобны. Тогда
\frac{AB}{AC}=\frac{OB}{BM},~\mbox{или}~\frac{AB}{AC}=\frac{OB}{\frac{1}{2}AB}~\Rightarrow~\frac{AB^{2}}{AC}=2OB=2R,
где OB=R
— радиус окружности. Следовательно, \frac{AB^{2}}{AC}
не зависит от хорды AB
.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет Киевского ГУ. — 1981, устный экзамен
Источник: Журнал «Квант». — 1982, № 6, с. 42, задача 21