17060. Расстояние между центрами двух окружностей радиусов
r
и
7r
равно
5r
. Хорда большей окружности касается меньшей и делится точкой касания в отношении
1:6
. Найдите эту хорду.
Ответ.
7r\sqrt{3}
или
\frac{7}{6}r\sqrt{143}
.
Решение. Заметим, что из условия задачи следует, что меньшая окружность расположена внутри большей.
Пусть
O_{1}
и
O_{2}
— центры окружностей радиусов
r
и
7r
соответственно,
AB
— хорда большей окружности, касающаяся меньшей в точке
C
,
M
— середина
AB
,
F
— основание перпендикуляра, опущенного из точки
O_{1}
на прямую
O_{2}M
. Положим
AC=x
и
BC=7x
.
Рассмотрим случай, когда точка
F
лежит на отрезке
O_{2}M
(рис. 1). Поскольку
O_{2}M\perp AB
(см. задачу 1677),
O_{1}C\perp AB
и
O_{1}F\parallel AB
, то
CMFO_{1}
— прямоугольник, поэтому
FM=O_{1}C=r,~O_{1}F=CM=AM-AC=\frac{7}{2}x-x=\frac{5}{2}x,

O_{2}M=O_{2}F+FM=\sqrt{O_{1}O_{2}^{2}-O_{1}F^{2}}+r=\sqrt{25r^{2}-\frac{25}{4}x^{2}}+r=5\sqrt{r^{2}-\frac{x^{2}}{4}}+r.

С другой стороны, из прямоугольного треугольника
O_{2}MB
получаем
O_{2}M^{2}=\sqrt{O_{2}B^{2}-BM^{2}}=\sqrt{49r^{2}-\frac{49}{4}x^{2}}=7\sqrt{r^{2}-\frac{x^{2}}{4}}.

Тогда
5\sqrt{r^{2}-\frac{x^{2}}{4}}+r=7\sqrt{r^{2}-\frac{x^{2}}{4}}~\Rightarrow~r=2\sqrt{r^{2}-\frac{x^{2}}{4}}~\Rightarrow~r^{2}=4r^{2}-x^{2}~\Rightarrow~x^{2}=3r^{2},

откуда
x=r\sqrt{3}
. Следовательно,
AB=7x=7r\sqrt{3}.

Пусть теперь точка
F
лежит на продолжении отрезка
O_{2}M
за точку
O_{2}
(рис. 1). Тогда аналогично получим
r=FM=O_{2}M+O_{2}F=7\sqrt{r^{2}-\frac{x^{2}}{4}}+5\sqrt{r^{2}-\frac{x^{2}}{4}}=12\sqrt{r^{2}-\frac{x^{2}}{4}}~\Rightarrow

\Rightarrow~r^{2}=144r^{2}-36x^{2}~\Rightarrow~x^{2}=\frac{143}{36}r^{2},

откуда
x=\frac{r\sqrt{143}}{6}
. Следовательно,
AB=7x=\frac{7r\sqrt{143}}{6}.

Остальные возможные случаи симметричны разобранным относительно линии центров данных окружностей.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1983, задача 3, вариант 1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1983, с. 33, задача 3, вариант 1
Источник: Журнал «Квант». — 1984, № 5, с. 54, задача 3, вариант 1