17061. Радиус вписанной окружности треугольника ABC
равен \frac{10}{3}
, косинус угла C
равен \frac{5}{13}
, а площадь треугольника равна 60
. Найдите стороны треугольника.
Ответ. AB=AC=13
, BC=10
или AB=BC=13
, AC=10
.
Решение. Пусть \angle ACB=\gamma
, а вписанная окружность с центром I
касается сторон BC
, AC
и AB
данного треугольника в точках K
, L
и M
соответственно. Тогда
\sin\gamma=\sqrt{1-\cos^{2}\gamma}=\sqrt{1-\frac{25}{169}}=\frac{12}{13},
поэтому
\ctg\frac{\gamma}{2}=\frac{1+\cos\gamma}{\sin\gamma}=\frac{1+\frac{5}{13}}{\frac{12}{13}}=\frac{3}{2}.
Из прямоугольного треугольника IKC
находим, что
CK=IK\ctg\angle LKC=IK\ctg\frac{\gamma}{2}=\frac{10}{3}\cdot\frac{3}{2}=5,~CL=CK=5
Обозначим AL=AM=x
, BK=BM=y
, p
— полупериметр, S
— площадь треугольника ABC
, а r=\frac{10}{3}
— радиус вписанной окружности. Тогда
p=AM+BK+CL=x+y+5,~S=pr,~\mbox{или}~60=\frac{10}{3}p,
откуда находим, что
x+y+5=p=18,~AB=AM+BM=x+y=13.
В то же время,
S=\frac{1}{2}BC\cdot AC\sin\gamma,~\mbox{или}~60=\frac{1}{2}(5+y)(5+x)\cdot\frac{12}{13},
откуда, учитывая, что x+y=13
получаем, что xy=40
, или x(13-x)=40
.
Из квадратного уравнения x^{2}-13x+40=0
находим, что x=8
или x=5
. В первом случае y=13-8=5
, поэтому
AC=x+5=13~\mbox{и}~BC=y+5=10,
во втором — y=13-5=8
, поэтому
AC=x+5=10~\mbox{и}~BC=8+5=13.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 1983, задача 2, вариант 1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1983, с. 135, задача 2, вариант 1
Источник: Журнал «Квант». — 1984, № 5, с. 54, задача 2, вариант 2