17062. В окружность радиуса
R
вписан равносторонний треугольник. Найдите на окружности точку, для которой сумма расстояний до двух ближайших вершин треугольника есть данная величина
l
.
Ответ. Искомая точка находится на расстоянии
\frac{1}{2}(l\pm\sqrt{12R^{2}-3R^{2}})
до одной из двух ближайших вершин треугольника.
Решение. Пусть
M
— точка на меньшей дуге
BC
описанной окружности равностороннего треугольника
ABC
. Обозначим
MB=x
и
MC=y
. Тогда
x+y=l
.
По теоремам синусов и косинусов
l=BC=2R\sin60^{\circ}=R\sqrt{3},~l^{2}=BC^{2}=3R^{2}=

=x^{2}+y^{2}-3xy\cos120^{\circ}=x^{2}+y^{2}+xy=(x+y)^{2}-xy=l^{2}-xy.

Из системы
\syst{x+y=l\\xy=l^{2}-3R^{2}\\}

находим, что
x=\frac{1}{2}(l\pm\sqrt{12R^{2}-3R^{2}}).

Следовательно, искомая точка находится на расстоянии
\frac{1}{2}(l\pm\sqrt{12R^{2}-3R^{2}}
до одной из двух ближайших вершин треугольника. При этом подкоренное выражение должно быть неотрицательным, т. е.
12R^{2}-3R^{2}\geqslant0~\Rightarrow~l\leqslant2R,

а также
l\pm\sqrt{12R^{2}-3R^{2}}\geqslant0~\Rightarrow~l\geqslant R\sqrt{3}.

Источник: Вступительный экзамен на факультет прикладной математики — процессов управления ЛГУ. — 1984, задача 4
Источник: Журнал «Квант». — 1985, № 4, с. 54, задача 4, вариант 1