17062. В окружность радиуса R
вписан равносторонний треугольник. Найдите на окружности точку, для которой сумма расстояний до двух ближайших вершин треугольника есть данная величина l
.
Ответ. Искомая точка находится на расстоянии \frac{1}{2}(l\pm\sqrt{12R^{2}-3R^{2}})
до одной из двух ближайших вершин треугольника.
Решение. Пусть M
— точка на меньшей дуге BC
описанной окружности равностороннего треугольника ABC
. Обозначим MB=x
и MC=y
. Тогда x+y=l
.
По теоремам синусов и косинусов
l=BC=2R\sin60^{\circ}=R\sqrt{3},~l^{2}=BC^{2}=3R^{2}=
=x^{2}+y^{2}-3xy\cos120^{\circ}=x^{2}+y^{2}+xy=(x+y)^{2}-xy=l^{2}-xy.
Из системы
\syst{x+y=l\\xy=l^{2}-3R^{2}\\}
находим, что
x=\frac{1}{2}(l\pm\sqrt{12R^{2}-3R^{2}}).
Следовательно, искомая точка находится на расстоянии \frac{1}{2}(l\pm\sqrt{12R^{2}-3R^{2}}
до одной из двух ближайших вершин треугольника. При этом подкоренное выражение должно быть неотрицательным, т. е.
12R^{2}-3R^{2}\geqslant0~\Rightarrow~l\leqslant2R,
а также
l\pm\sqrt{12R^{2}-3R^{2}}\geqslant0~\Rightarrow~l\geqslant R\sqrt{3}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет прикладной математики — процессов управления ЛГУ. — 1984, задача 4
Источник: Журнал «Квант». — 1985, № 4, с. 54, задача 4, вариант 1