17067. Дан выпуклый четырёхугольник
ABCD
, в котором
AB+BD\leqslant AC+CD
. Докажите, что
AB\leqslant AC
.
Решение. Предположим, что
AB\gt AC
. Тогда в треугольнике
ABC
против большей стороны
AB
лежит больший угол, т. е.
\angle ACB\gt\angle ABC
, поэтому
\angle BCD=\angle ACB+\angle ACD\gt\angle ACB\gt\angle ABC=\angle CBD+\angle ABD\gt\angle CBD.

Тогда в треугольнике
BCD
против большего угла
BCD
лежит большая сторона, т. е.
BD\gt CD
, поэтому
AB+BD\gt AC+CD
. Противоречие. Следовательно,
AB\leqslant AC
.
Источник: Журнал «Квант». — 1988, № 8, с. 57, задача 5