17067. Дан выпуклый четырёхугольник ABCD
, в котором AB+BD\leqslant AC+CD
. Докажите, что AB\leqslant AC
.
Решение. Предположим, что AB\gt AC
. Тогда в треугольнике ABC
против большей стороны AB
лежит больший угол, т. е. \angle ACB\gt\angle ABC
, поэтому
\angle BCD=\angle ACB+\angle ACD\gt\angle ACB\gt\angle ABC=\angle CBD+\angle ABD\gt\angle CBD.
Тогда в треугольнике BCD
против большего угла BCD
лежит большая сторона, т. е. BD\gt CD
, поэтому AB+BD\gt AC+CD
. Противоречие. Следовательно, AB\leqslant AC
.
Источник: Журнал «Квант». — 1988, № 8, с. 57, задача 5