17069. В треугольнике ABC
проведена биссектриса AF
. Пусть D
и E
— точки пересечения AF
с вписанной в треугольник окружностью (D
между E
и F
). Докажите, что AD\gt EF
.
Решение. Пусть I
— центр окружности. Тогда
AD\gt EF~\Leftrightarrow~AI\gt IF~\Leftrightarrow~AF\gt2IF.
Пусть радиус вписанной окружности треугольника ABC
равен r
, а D
— основание перпендикуляра, опущенного из точки на высоту AH=h
. Тогда неравенство AF\gt2IF
равносильно неравенству AH\gt2DH
, или h\gt2r
.
Пусть S
— площадь треугольника ABC
. Тогда
2S=BC\cdot h=(BC+CA+AB)\cdot r\gt(BC+BC)r=2BC\cdot r.
Следовательно, h\gt2r
. Отсюда следует требуемое неравенство.
Источник: Журнал «Квант». — 1988, № 10, с. 38, задача 10