17069. В треугольнике
ABC
проведена биссектриса
AF
. Пусть
D
и
E
— точки пересечения
AF
с вписанной в треугольник окружностью (
D
между
E
и
F
). Докажите, что
AD\gt EF
.
Решение. Пусть
I
— центр окружности. Тогда
AD\gt EF~\Leftrightarrow~AI\gt IF~\Leftrightarrow~AF\gt2IF.

Пусть радиус вписанной окружности треугольника
ABC
равен
r
, а
D
— основание перпендикуляра, опущенного из точки на высоту
AH=h
. Тогда неравенство
AF\gt2IF
равносильно неравенству
AH\gt2DH
, или
h\gt2r
.
Пусть
S
— площадь треугольника
ABC
. Тогда
2S=BC\cdot h=(BC+CA+AB)\cdot r\gt(BC+BC)r=2BC\cdot r.

Следовательно,
h\gt2r
. Отсюда следует требуемое неравенство.
Источник: Журнал «Квант». — 1988, № 10, с. 38, задача 10