1707. Через данную точку окружности проведите хорду, которая бы делилась данной хордой пополам.
Решение. Первый способ. Пусть M
— данная точка окружности с центром O
, AB
— данная хорда. Если AB
— диаметр, то искомая хорда — также диаметр. Если AB
— хорда, не являющаяся диаметром, MN
— искомая хорда, а K
— её середина, то OK\perp MN
, т. е. радиус OM
виден из точки K
под прямым углом. Значит, середина искомой хорды MN
лежит на окружности с диаметром OM
.
Если окружность с диаметром OM
имеет две общих точки с данной окружностью, то задача имеет два решения, если одну общую точку — одно решение, если ни одной общей точки — решений нет.
Второй способ. Пусть M
— данная точка окружности с центром O
, AB
— данная хорда. При гомотетии с центром M
и коэффициентом \frac{1}{2}
данная окружность перейдёт в окружность с диаметром OM
. Если K
— точка пересечения этой окружности с данным отрезком AB
, то K
— образ некоторой точки N
данной окружности. Поэтому MK=\frac{1}{2}MN
, т. е. K
— середина MN
.
Если окружность с диаметром OM
имеет две общих точки с данной окружностью, то задача имеет два решения, если одну общую точку — одно решение, если ни одной общей точки — решений нет.