17072. На сторонах AB
и BC
треугольника ABC
выбраны соответственно точки D
и E
. Прямая, проходящая через точку D
параллельно BC
, пересекает отрезок AE
в точке G
, а прямая, проходящая через точку E
параллельно AB
пересекает отрезок CD
в точке F
. Докажите, что прямые GF
и AC
параллельны.
Решение. Треугольник DOG
подобен треугольнику COE
, поэтому \frac{OG}{OD}=\frac{OE}{OC}
; треугольник EOF
подобен треугольнику AOD
, поэтому \frac{OE}{OF}=\frac{OA}{OD}
. Перемножив эти два равенства, получим, что
\frac{OG}{OD}\cdot\frac{OE}{OF}=\frac{OE}{OC}\cdot\frac{OA}{OD}~\Rightarrow~\frac{OG}{OF}=\frac{AO}{OC}.
Следовательно, GF\parallel AC
. Что и требовалось доказать.
Источник: Вступительный экзамен на математико-механический факультет ЛГУ (СПбГУ). — 1988, задача 4.1
Источник: Журнал «Квант». — 1989, № 4, с. 67, задача 4.1, вариант 1